卷六

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○均输(以御远近劳费) 今有均输粟,甲县一万户,行道八日;乙县九千五百户,行道十日;丙县一万二千三百五十户,行道十三日;丁县一万二千二百户,行道二十日,各到输所。凡四县赋当输二十五万斛,用车一万乘。欲以道里远近、户数多少衰出之,问粟、车各几何?答曰:甲县粟八万三千一百斛,车三千三百二十四乘。乙县粟六万三千一百七十五斛,车二千五百二十七乘。丙县粟六万三千一百七十五斛,车二千五百二十七乘。丁县粟四万五百五十斛,车一千六百二十二乘。 术曰:令县户数各如其本行道日数而一,以为衰。 〔按:此均输,犹均运也。令户率出车,以行道日数为均,发粟为输。据甲行道八日,因使八户共出一车;乙行道十日,因使十户共出一车。计其在道,则皆户一日出一车,故可为均平之率也。 淳风等按:县户有多少之差,行道有远近之异。欲其均等,故各令行道日数约户为衰。行道多者少其户,行道少者多其户。故各令约户为衰。以八日约除甲县,得一百二十五,乙、丙各九十五,丁六十一。于今有术,副并为所有率。未并者各为所求率,以赋粟车数为所有数,而今有之,各得车数。一旬除乙,十三除丙,各得九十五;二旬除丁,得六十一也。〕 甲衰一百二十五,乙、丙衰各九十五,丁衰六十一,副并为法。以赋粟车数乘未并者,各自为实。 〔衰,分科率。〕 实如法得一车。 〔各置所当出车,以其行道日数乘之,如户数而一,得率:户用车二日四十七分日之三十一,故谓之均。求此户以率,当各计车之衰分也。〕 有分者,上下辈之。 〔辈,配也。车、牛、人之数不可分裂,推少就多,均赋之宜。今按:甲分既少,宜从于乙。满法除之,有余从丙。丁分又少,亦宜就丙。除之适尽。加乙、丙各一,上下辈益,以少从多也。〕 以二十五斛乘车数,即粟数。 今有均输卒:甲县一千二百人,薄塞;乙县一千五百五十人,行道一日;丙县一千二百八十人,行道二日;丁县九百九十人,行道三日;戊县一千七百五十人,行道五日。凡五县赋输卒一月一千二百人。欲以远近、人数多少衰出之,问县各几何?答曰:甲县二百二十九人。乙县二百八十六人。丙县二百二十八人。丁县一百七十一人。戊县二百八十六人。 术曰:令县卒各如其居所及行道日数而一,以为衰。 〔按:此亦以日数为均,发卒为输。甲无行道日,但以居所三十日为率。言欲为均平之率者,当使甲三十人而出一人,乙三十一人而出一人。出一人者,计役则皆一人一日,是以可为均平之率。〕 甲衰四,乙衰五,丙衰四,丁衰三,戊衰五,副并为法。以人数乘未并者各自为实。实如法而一。 〔为衰,于今有术,副并为所有率,未并者各为所求率,以赋卒人数为所有数。此术以别,考则意同,以广异闻,故存之也。各置所当出人数,以其居所及行道日数乘之,如县人数而一。得率:人役五日七分日之五。〕 有分者,上下辈之。 〔辈,配也。今按:丁分最少,宜就戊除。不从乙者,丁近戊故也。满法除之,有余从乙。丙分又少,亦就乙除,有余从甲。除之适尽。从甲、丙二分,其数正等,二者于乙远近皆同,不以甲从乙者,方以下从上也。〕 今有均赋粟:甲县二万五百二十户,粟一斛二十钱,自输其县;乙县一万二千三百一十二户,粟一斛一十钱,至输所二百里;丙县七千一百八十二户,粟一斛一十二钱,至输所一百五十里;丁县一万三千三百三十八户,粟一斛一十七钱,至输所二百五十里;戊县五千一百三十户,粟一斛一十三钱,至输所一百五十里。凡五县赋输粟一万斛。一车载二十五斛,与僦一里一钱。欲以县户赋粟,令费劳等,问县各粟几何?答曰:甲县三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七。乙县二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙县一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁县一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三。戊县九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三。 术曰:以一里僦价乘至输所里, 〔此以出钱为均也。问者曰:“一车载二十五斛,与僦一里一钱。”一钱,即一里僦价也。以乘里数者,欲知僦一车到输所所用钱也。甲自输其县,则无取僦价也。〕 以一车二十五斛除之, 〔欲知僦一斛所用钱。〕 加一斛粟价,则致一斛之费。 〔加一斛之价于一斛僦直,即凡输粟取僦钱也:甲一斛之费二十,乙、丙各十八,丁二十七,戊十九也。〕 各以约其户数,为衰。 〔言使甲二十户共出一斛,乙、丙十八户共出一斛。计其所费,则皆户一钱,故可为均赋之率也。计经赋之率,既有户算之率,亦有远近、贵贱之率。此二率者,各自相与通。通则甲二十,乙十二,丙七,丁十三,戊五。一斛之费谓之钱率。钱率约户率者,则钱为母,户为子。子不齐,令母互乘为齐,则衰也。若其不然。以一斛之费约户数,取衰。并有分,当通分内子,约之,于算甚繁。此一章皆相与通功共率,略相依似。以上二率、下一率亦可放此,从其简易而已。又以分言之,使甲一户出二十分斛之一,乙一户出十八分斛之一,各以户数乘之,亦可得一县凡所当输,俱为衰也。乘之者,乘其子,母报除之。以此观之,则以一斛之费约户数者,其意不异矣。然则可置一斛之费而反衰之。约户,以乘户率为衰也。合分注曰:“母除为率,率乘子为齐。”反衰注曰:“先同其母,各以分母约,其子为反衰。”以施其率,为算既约,且不妨处下也。〕 甲衰一千二十六,乙衰六百八十四,丙衰三百九十九,丁衰四百九十四,戊衰二百七十,副并为法。所赋粟乘未并者,各自为实。实如法得一。 〔各置所当出粟,以其一斛之费乘之,如户数而一,得率:户出三钱二千八百七十三分钱之一千三百八十一。按:此以出钱为均。问者曰:“一车载二十五斛,与僦一里一钱。”一钱即一里僦价也。以乘里数者,欲知僦一车到输所用钱。甲自输其县,则无取僦之价。以一车二十五斛除之者,欲知僦一斛所用钱。加一斛之价于一斛僦直,即凡输粟取僦钱:甲一斛之费二十,乙、丙各十八,丁二十七,戊一十九。各以约其户,为衰:甲衰一千二十六,乙衰六百八十四,丙衰三百九十九,丁衰四百九十四,戊衰二百七十。言使甲二十户共出一斛,乙、丙十八户共出一斛。计其所费,则皆户一钱,故可为均赋之率也。于今有术,副并为所有率,未并者各为所求率,赋粟一万斛为所有数。此今有、衰分之义也。〕 今有均赋粟:甲县四万二千算,粟一斛二十,自输其县;乙县三万四千二百七十二算,粟一斛一十八,佣价一日一十钱,到输所七十里;丙县一万九千三百二十八算,粟一斛一十六,佣价一日五钱,到输所一百四十里;丁县一万七千七百算,粟一斛一十四,佣价一日五钱,到输所一百七十五里;戊县二万三千四十算,粟一斛一十二,佣价一日五钱,到输所二百一十里;己县一万九千一百三十六算,粟一斛一十,佣价一日五钱,到输所二百八十里。凡六县赋粟六万斛,皆输甲县。六人共车,车载二十五斛,重车日行五十里,空车日行七十里,载输之间各一日。粟有贵贱,佣各别价,以算出钱,令费劳等,问县各粟几何?答曰:甲县一万八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。乙县一万八百二十七斛一百三十三分斛之九,丙县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。丁县六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。戊县九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。己县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。 术曰:以车程行空、重相乘为法,并空、重,以乘道里,各自为实,实如法得一日。 〔按:此术重往空还,一输再行道也。置空行一里用七十分日之一,重行一里用五十分日之一。齐而同之,空、重行一里之路,往返用一百七十五分日之六。完言之者,一百七十五里之路,往返用六日也。故并空、重者,齐其子也;空、重相乘者,同其母也。于今有术,至输所里为所有数,六为所求率,一百七十五为所有率,而今有之,即各得输所用日也。〕 加载输各一日, 〔故得凡日也。〕 而以六人乘之, 〔欲知致一车用人也。〕 又以佣价乘之, 〔欲知致车人佣直几钱。〕 以二十五斛除之, 〔欲知致一斛之佣直也。〕 加一斛粟价,即致一斛之费。 〔加一斛之价于致一斛之佣直,即凡输一斛粟取佣所用钱。〕 各以约其算数为衰, 〔今按:甲衰四十二,乙衰二十四,丙衰十六,丁衰十五,戊衰二十,己衰十六。于今有术,副并为所有率,未并者各自为所求率,所赋粟为所有数。此今有、衰分之义也。〕 副并为法,以所赋粟乘未并者,各自为实。实如法得一斛。 〔各置所当出粟,以其一斛之费乘之,如算数而一,得率:算出九钱一百三十三分钱之三。又载输之间各一日者,即二日也。〕 今有粟七斗,三人分舂之,一人为粝米,一人为粺米,一人为米,令米数等。问取粟、为米各几何?答曰:粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十。粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。米取粟二斗一百二十一分斗之七十三。为米各一斗六百五分斗之一百五十一。 术曰:列置粝米三十,粺米二十七,米二十四,而反衰之。 〔此先约三率:粝为十,粺为九,为八。欲令米等者,其取粟:粝率十分之一,粺率九分之一,率八分之一。当齐其子,故曰反衰也。 淳风等按:米有精粗之异,粟有多少之差。据率,粺、少而粝多;用粟,则粺、多而粝少。米若依本率之分,粟当倍率,故今反衰之,使精取多而粗得少。〕 副并为法。以七斗乘未并者,各自为取粟实。实如法得一斗。 〔于今有术,副并为所有率,未并者各为所求率,粟七斗为所有数,而今有之,故各得取粟也。〕 若求米等者,以本率各乘定所取粟为实,以粟率五十为法,实如法得一斗。 〔若径求为米等数者,置粝米三,用粟五;粺米二十七,用粟五十;米十二,用粟二十五。齐其粟,同其米,并齐为法。以七斗乘同为实。所得,即为米斗数。〕 今有人当禀粟二斛。仓无粟,欲与米一、菽二,以当所禀粟。问各几何?答曰;米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。 术曰:置米一、菽二,求为粟之数。并之,得三、九分之八,以为法。亦置米一、菽二,而以粟二斛乘之,各自为实。实如法得一斛。 〔淳风等按:置粟率五,乘米一,米率三除之,得一、三分之二,即是米一之粟也;粟率十,以乘菽二,菽率九除之,得二、九分之二,即是菽二之粟也。并全,得三。齐子,并之,得二十四;同母,得二十七;约之,得九分之八。故云“并之,得三、九分之八”。米一、菽二当粟三、九分之八,此其粟率也。于今有术,米一、菽二皆为所求率,当粟三、九分之八,为所有率,粟二斛为所有数。凡言率者,当相与。通之,则为米九、菽十八,当粟三十五也。 亦有置米一、菽二,求其为粟之率,以为列衰。副并为法,以粟乘列衰为实。所得即米一、菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之,即合所问。〕 今有取佣,负盐二斛,行一百里,与钱四十。今负盐一斛七斗三升少半升,行八十里。问与钱几何?答曰:二十七钱一十五分钱之一十一。 术曰:置盐二斛升数,以一百里乘之为法。 〔按:此术以负盐二斛升数乘所行一百里,得二万里。是为负盐一升行二万里,得钱四十。于今有术,为所有率。〕 以四十钱乘今负盐升数,又以八十里乘之,为实。实如法得一钱。 〔以今负盐升数乘所行里,今负盐一升凡所行里也。于今有术以所有数,四十钱为所求率也。衰分章“贷人千钱”与此同。〕 今有负笼重一石,行百步,五十返。今负笼重一石一十七斤,行七十六步,问返几何?答曰:五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。 术曰:以今所行步数乘今笼重斤数,为法。 〔此法谓负一斤一返所行之积步也。〕 故笼重斤数乘故步,又以返数乘之,为实。实如法得一返。 〔按:此法,负一斤一返所行之积步;此实者一斤一日所行之积步。故以一返之课除终日之程,即是返数也。 淳风等按:此术,所行步多者得返少,所行步少者得返多。然则故所行者今返率也。故令所得返乘今返之率,为实,而以故返之率为法,今有术也。按:此负笼又有轻重,于是为术者因令重者得返少,轻者得返多。故又因其率以乘法、实者,重今有之义也。然此意非也。按:此笼虽轻而行有限,笼过重则人力遗。力有遗而术无穷,人行有限而笼轻重不等。使其有限之力随彼无穷之变,故知此术率乖理也。若故所行有空行返数,设以问者,当因其所负以为返率,则今返之数可得而知也。假令空行一日六十里,负重一斛行四十里。减重一斗进二里半,负重二斗以下与空行同。今负笼重六斗,往返行一百步,问返几何?答曰:一百五十返。术曰:置重行率,加十里,以里法通之,为实。以一返之步为法。实如法而一,即得也。〕 今有程传委输,空车日行七十里,重车日行五十里。今载太仓粟输上林,五日三返,问太仓去上林几何?答曰:四十八里一十八分里之一十一 术曰:并空、重里数,以三返乘之,为法。令空、重相乘,又以五日乘之,为实。实如法得一里。 〔此亦如上术。率:一百七十五里之路,往返用六日也。于今有术,则五日为所有数,一百七十五里为所求率,六日为所有率。以此所得,则三返之路。今求一返,当以三约之,因令乘法而并除也。为术亦可各置空、重行一里用日之率,以为列衰,副并为法。以五日乘列衰为实。实如法,所得即各空、重行日数也。各以一日所行以乘,为凡日所行。三返约之,为上林去太仓之数。按:此术重往空还,一输再还道。置空行一里用七十分日之一,重行一里用五十分日之一。齐而同之,空、重行一里之路,往返用一百七十五分日之六。完言之者,一百七十五里之路,往返用六日。故并空、重者,并齐也;空、重相乘者,同其母也。于今有术,五日为所有数,一百七十五为所求率,六为所有率。以此所得,则三返之路。今求一返者,当以三约之。故令乘法而并除,亦当约之也。〕 今有络丝一斤为练丝一十二两,练丝一斤为青丝一斤一十二铢。今有青丝一斤,问本络丝几何?答曰:一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。 术曰:以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤两数,又以络丝一斤乘,为实。实如法得一斤。 〔按:练丝一斤为青丝一斤十二铢,此练率三百八十四,青率三百九十六也。又络丝一斤为练丝十二两,此络率十六,练率十二也。置今有青丝一斤,以练率三百八十四乘之,为实。实如青丝率三百九十六而一。所得,青丝一斤,练丝之数也。又以络率十六乘之,所得为实;以练率十二为法。所得,即练丝用络丝之数也。是谓重今有也。虽各有率,不问中间。故令后实乘前实,后法乘前法而并除也。故以练丝两数为实,青丝铢数为法。 一曰:又置络丝一斤两数与练丝十二两,约之,络得四,练得三。此其相与之率。又置练丝一斤铢数与青丝一斤一十二铢,约之,练得三十二,青得三十三。亦其相与之率。齐其青丝、络丝,同其二练,络得一百二十八,青得九十九,练得九十六,即三率悉通矣。今有青丝一斤为所有数,络丝一百二十八为所求率,青丝九十九为所有率。为率之意犹此,但不先约诸率耳。凡率错互不通者,皆积齐同用之。放此,虽四五转不异也。言同其二练者,以明三率之相与通耳,于术无以异也。 又一术:今有青丝一斤铢数乘练丝一斤两数,为实;以青丝一斤一十二铢为法。所得,即用练丝两数。以络丝一斤乘所得为实,以练丝十二两为法,所得,即用络丝斤数也。〕 今有恶粟二十斗,舂之,得粝米九斗。今欲求粺米一十斗,问恶粟几何?答曰:二十四斗六升八十一分升之七十四。 术曰:置粝米九斗,以九乘之,为法。亦置粺米十斗,以十乘之,又以恶粟二十斗乘之,为实。实如法得一斗。 〔按:此术置今有求粺米十斗,以粝米率十乘之,如粺率九而一,即粺化为粝,又以恶粟率二十乘之,如粝率九而一,即粝亦化为恶粟矣。此亦重今有之义。为术之意犹络丝也。虽各有率,不问中间。故令后实乘前实,后法乘前法而并除之也。〕 今有善行者行一百步,不善行者行六十步。今不善行者先行一百步,善行者追之。问几何步及之?答曰:二百五十步。 术曰:置善行者一百步,减不善行者六十步,余四十步,以为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步,为实。实如法得一步。 〔按:此术以六十步减一百步,余四十步,即不善行者先行率也;善行者行一百步,追及率。约之,追及率得五,先行率得二。于今有术,不善行者先行一百步为所有数,五为所求率,二为所有率,而今有之,得追及步也。〕 今有不善行者先行一十里,善行者追之一百里,先至不善行者二十里。问善行者几何里及之?答曰:三十三里少半里。 术曰:置不善行者先行一十里,以善行者先至二十里增之,以为法。以不善行者先行一十里乘善行者一百里,为实。实如法得一里。 〔按:此术不善行者既先行一十里,后不及二十里,并之,得三十里也,谓之先行率。善行者一百里为追及率。约之,先行率得三,三为所有率,而今有之,即得也。其意如上术也。〕 今有兔先走一百步,犬追之二百五十步,不及三十步而止。问犬不止,复行几何步及之?答曰:一百七步七分步之一。 术曰:置兔先走一百步,以犬走不及三十步减之,余为法。以不及三十步乘犬追步数为实。实如法得一步。 〔按:此术以不及三十步减先走一百步,余七十步,为兔先走率。犬行二百五十步为追及率。约之,先走率得七,追及率得二十五。于今有术,不及三十步为所有数,二十五为所求率,七为所有率,而今有之,即得也。〕 今有人持金十二斤出关,关税之,十分而取一。今关取金二斤,偿钱五千。问金一斤值钱几何?答曰:六千二百五十。 术曰:以一十乘二斤,以十二斤减之,余为法。以一十乘五千为实。实如法得一钱。 〔按:此术置十二斤,以一乘之,十而一,得一斤五分斤之一,即所当税者也。减二斤,余即关取盈金。以盈除所偿钱,即金值也。今术既以十二斤为所税,则是以十为母,故以十乘二斤及所偿钱,通其率。于今有术,五千钱为所有数,十为所求率,八为所有率,而今有之,即得也。〕 今有客马,日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一,主人乃觉。持衣追及,与之而还;至家视日四分之三。问主人马不休,日行几何?答曰:七百八十里。 术曰:置四分日之三,除三分日之一, 〔按:此术“置四分日之三,除三分日之一”者,除,其减也。减之余,有十二分之五,即是主人追客还用日率也。〕 半其余,以为法。 〔去其还,存其往。率之者,子不可半,故倍母,二十四分之五。是为主人与客均行用日之率也。〕 副置法,增三分日之一。 〔法二十四分之五者,主人往追用日之分也。三分之一者,客去主人未觉之前独行用日之分也。并连此数,得二十四分日之十三,则主人追及前用日之分也。是为客用日率也。然则主人用日率者,客马行率也;客用日率者,主人马行率也。母同则子齐,是为客马行率五,主人马行率十三。于今有术,三百里为所有数,十三为所求率,五为所有率,而今有之,即得也。〕 以三百里乘之,为实。实如法,得主人马一日行。 〔欲知主人追客所行里者,以三百里乘客用日分子十三,以母二十四而一,得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四,如客马与主人均行用日分子五而一,亦得主人马一日行七百八十里也。〕 今有金棰,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤。问次一尺各重几何?答曰:末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤八两。次一尺重四斤。 术曰:令末重减本重,余,即差率也。又置本重,以四间乘之,为下第一衰。副置,以差率减之,每尺各自为衰。 〔按:此术五尺有四间者,有四差也。今本末相减,余即四差之凡数也。以四约之,即得每尺之差。以差数减本重,余即次尺之重也。为术所置,如是而已。今此率以四为母,故令母乘本为衰,通其率也。亦可置末重,以四间乘之,为上第一衰。以差重率加之,为次下衰也。〕 副置下第一衰,以为法。以本重四斤遍乘列衰,各自为实。实如法得一斤。 〔以下第一衰为法,以本重乘其分母之数,而又反此率乘本重,为实。一乘一除,势无损益,故惟本存焉。众衰相推为率,则其余可知也。亦可副置末衰为法,而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回,然是其旧。故就新而言之也。〕 今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?答曰:甲得一钱六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之四。 术曰:置钱,锥行衰。 〔按:此术“锥行”者,谓如立锥:初一、次二、次三、次四、次五,各均,为一列者也。〕 并上二人为九,并下三人为六。六少于九,三。 〔数不得等,但以五、四、三、二、一为率也。〕 以三均加焉,副并为法。以所分钱乘未并者,各自为实。实如法得一钱。 〔此问者,令上二人与下三人等,上、下部差一人,其差三。均加上部,则得二三;均加下部,则得三三。下部犹差一人,差得三,以通于本率,即上、下部等也。于今有术,副并为所有率,未并者各为所求率,五钱为所有数,而今有之,即得等耳。假令七人分七钱,欲令上二人与下五人等,则上、下部差三人。并上部为十三,下部为十五。下多上少,下不足减上。当以上、下部列差而后均减,乃合所问耳。此可仿下术:令上二人分二钱半为上率,令下三人分二钱半为下率。上、下二率以少减多,余为实。置二人、三人,各半之,减五人,余为法。实如法得一钱,即衰相去也。下衰率六分之五者,丁所得钱数也。〕 今有竹九节,下三节容四升,上四节容三升。问中间二节欲均容,各多少?答曰:下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三十九。 术曰:以下三节分四升为下率,以上四节分三升为上率。 〔此二率者,各其平率也。〕 上、下率以少减多,余为实。 〔按:此上、下节各分所容为率者,各其平率。上、下以少减多者,余为中间五节半之凡差,故以为实也。〕 置四节、三节,各半之,以减九节,余为法。实如法得一升。即衰相去也。 〔按此术法者,上下节所容已定之节,中间相去节数也;实者,中间五节半之凡差也。故实如法而一,则每节之差也。〕 下率一升少半升者,下第二节容也。 〔一升少半升者,下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。〕 今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。今凫、雁俱起,问何日相逢?答曰:三日十六分日之十五。 术曰:并日数为法,日数相乘为实,实如法得一日。 〔按:此术置凫七日一至,雁九日一至。齐其至,同其日,定六十三日凫九至,雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者,是为共至。并齐以除同,即得相逢日。故“并日数为法”者,并齐之意;“日数相乘为实”者,犹以同为实也。一曰:凫飞日行七分至之一,雁飞日行九分至之一。齐而同之,凫飞定日行六十三分至之九,雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分,凫日行九分,雁日行七分也。并凫、雁一日所行,以除南北相去,而得相逢日也。〕 今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安。今乙发已先二日,甲乃发长安,问几何日相逢?答曰:二日十二分日之一。 术曰:并五日、七日,以为法。 〔按:此术“并五日、七日为法”者,犹并齐为法。置甲五日一至,乙七日一至。齐而同之,定三十五日甲七至,乙五至。并之为十二至者,用三十五日也。谓甲、乙与发之率耳。然则日化为至,当除日,故以为法也。〕 以乙先发二日减七日, 〔“减七日”者,言甲、乙俱发,今以发为始发之端,于本道里则余分也。〕也。 余,以乘甲日数为实。 〔七者,长安去齐之率也;五者,后发相去之率也。今问后发,故舍七用五。以乘甲五日,为二十五日。言甲七至,乙五至,更相去,用此二十五日也。 实如法得一日。 〔一日甲行五分至之一,乙行七分至之一。齐而同之,甲定日行三十五分至之七,乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分,甲日行七分,乙日行五分也。今乙先行发二日,已行十分,余,相去二十五分。故减乙二日,余,令相乘,为二十五分。〕 今有一人一日为牝瓦三十八枚,一人一日为牡瓦七十六枚。今令一人一日作瓦,牝、牡相半,问成瓦几何?答曰:二十五枚少半枚。 术曰:并牝、牡为法,牝、牡相乘为实,实如法得一枚。 〔此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并,犹如凫、雁日飞相并也。按:此术“并牝、牡为法”者,并齐之意;“牝、牡相乘为实”者,犹以同为实也。故实如法,即得也。〕 今有一人一日矫矢五十,一人一日羽矢三十,一人一日摐矢十五。今令一人一日自矫、羽、摐,问成矢几何?答曰:八矢少半矢。 术曰:矫矢五十,用徒一人;羽矢五十,用徒一人太半人;摐矢五十,用徒三人少半人。并之,得六人,以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。 〔按:此术言成矢五十,用徒六人,一日工也。此同工其作,犹凫、雁共至之类,亦以同为实,并齐为法。可令矢互乘一人为齐,矢相乘为同。今先令同于五十矢。矢同则徒齐,其归一也。——以此术为凫雁者,当雁飞九日而一至,凫飞九日而一至七分至之二。并之,得二至七分至之二,以为法。以九日为实。——实如法而一,得一人日成矢之数也。〕 今有假田,初假之岁三亩一钱,明年四亩一钱,后年五亩一钱。凡三岁得一百。问田几何?答曰:一顷二十七亩四十七分亩之三十一。 术曰:置亩数及钱数。令亩数互乘钱数,并,以为法。亩数相乘,又以百钱乘之,为实。实如法得一亩。 〔按:此术令亩互乘钱者,齐其钱;亩数相乘者,同其亩。同于六十,则初假之岁得钱二十,明年得钱十五,后年得钱十二也。凡三岁得钱一百,为所有数,同亩为所求率,四十七钱为所有率,今有之,即得也。齐其钱,同其亩,亦如凫雁术也。于今有术,百钱为所有数,同亩为所求率,并齐为所有率。 淳风等按:假田六十亩,初岁得钱二十,明年得钱十五,后年得钱十二。并之,得钱四十七。是为得田六十亩,三岁所假。于今有术,百钱为所有数,六十亩为所求率,四十七为所有率,而今有之,即合问也。〕 今有程耕,一人一日发七亩,一人一日耕三亩,一人一日耰种五亩。今令一人一日自发、耕、耰种之,问治田几何?答曰:一亩一百一十四步七十一分步之六十六。 术曰:置发、耕、耰亩数,令互乘人数,并,以为法。亩数相乘为实。实如法得一亩。 〔此犹凫雁术也。 淳风等按:此术亦发、耕、耰种亩数互乘人者,齐其人;亩数相乘者,同其亩。故并齐为法,以同为实。计田一百五亩,发用十五人,耕用三十五人,种用二十一人。并之,得七十一工。治得一百五亩,故以为实。而一人一日所治,故以人数为法除之,即得也。〕 今有池,五渠注之。其一渠开之,少半日一满,次一日一满,次二日半一满,次三日一满,次五日一满。今皆决之,问几何日满池?答曰:七十四分日之十五。 术曰:各置渠一日满池之数,并,以为法。 〔按:此术其一渠少半日满者,是一日三满也;次一日一满;次二日半满者,是一日五分满之二也;次三日满者,是一日三分满之一也;次五日满者,是一日五分满之一也。并之,得四满十五分满之十四也。〕 以一日为实,实如法得一日。 〔此犹矫矢之术也。先令同于一日,日同则满齐。自凫雁至此,其为同齐有二术焉,可随率宜也。〕 其一术:各置日数及满数。 〔其一渠少半日满者,是一日三满也;次一日一满;次二日半满者,是五日二满;次三日一满,次五日一满。此谓之列置日数及满数也。〕 令日互相乘满,并,以为法。日数相乘为实。实如法得一日。 〔亦如凫雁术也。按:此其一渠少半日满池者,是一日三满池也;次一日一满;次二日半满者,是五日再满;次三日一满;次五日一满。此谓列置日数于右行,及满数于左行。以日互乘满者,齐其满;日数相乘者,同其日。满齐而日同,故并齐以除同,即得也。〕 今有人持米出三关,外关三而取一,中关五而取一,内关七而取一,余米五斗。问本持米几何?答曰:十斗九升八分升之三。 术曰:置米五斗,以所税者三之,五之,七之,为实。以余不税者二、四、六相互乘为法。实如法得一斗。 〔此亦重今有也。所税者,谓今所当税之。定三、五、七皆为所求率,二、四、六皆为所有率。置今有余米五斗,以七乘之,六而一,即内关未税之本米也。又以五乘之,四而一,即中关未税之本米也。又以三乘之,二而一,即外关未税之本米也。今从末求本,不问中间,故令中率转相乘而同之,亦如络丝术。 又一术:外关三而取一,则其余本米三分之二也。求外关所税之余,则当置一,二分乘之,三而一。欲知中关,以四乘之,五而一。欲知内关,以六乘之,七而一。凡余分者,乘其母、子:以三、五、七相乘得一百五,为分母;二、四、六相乘,得四十八,为分子。约而言之,则是余米于本所持三十五分之十六也。于今有术,余米五斗为所有数,分母三十五为所求率,分子十六为所有率也。〕 今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一。并五关所税,适重一斤。问本持金几何?答曰:一斤三两四铢五分铢之四。 术曰:置一斤,通所税者以乘之,为实。亦通其不税者,以减所通,余为法。实如法得一斤。 〔此意犹上术也。“置一斤,通所税者”,谓令二、三、四、五、六相乘,为分母,七百二十也。“通其所不税者”,谓令所税之余一、二、三、四、五相乘,为分子,一百二十也。约而言之,是为余金于本所持六分之一也。以子减母,凡五关所税六分之五也。于今有术,所税一斤为所有数,分母六为所求率,分子五为所有率。此亦重今有之义。又虽各有率,不问中间,故令中率转相乘而连除之,即得也。置一以为持金之本率,以税率乘之、除之,则其率亦成积分也。〕
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