卷八

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○方程(以御错糅正负) 今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?答曰:上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。 方程 〔程,课程也。群物总杂,各列有数,总言其实。令每行为率。二物者再程,三物者三程,皆如物数程之。并列为行,故谓之方程。行之左右无所同存,且为有所据而言耳。此都术也,以空言难晓,故特系之禾以决之。又列中、左行如右行也。〕 术曰:置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行,而以直除。 〔为术之意,令少行减多行,反复相减,则头位必先尽。上无一位,则此行亦阙一物矣。然而举率以相减,不害余数之课也。若消去头位,则下去一物之实。如是叠令左右行相减,审其正负,则可得而知。先令右行上禾乘中行,为齐同之意。为齐同者,谓中行直减右行也。从简易虽不言齐同,以齐同之意观之,其义然矣。〕 又乘其次,亦以直除。 〔复去左行首。〕 然以中行中禾不尽者遍乘左行,而以直除。 〔亦令两行相去行之中禾也。〕 左方下禾不尽者,上为法,下为实。实即下禾之实。 〔上、中禾皆去,故余数是下禾实,非但一秉。欲约众秉之实,当以禾秉数为法。列此,以下禾之秉数乘两行,以直除,则下禾之位皆决矣。各以其余一位之秉除其下实。即计数矣用算繁而不省。所以别为法,约也。然犹不如自用其旧。广异法也。〕 求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实。 〔此谓中两禾实,下禾一秉实数先见,将中秉求中禾,其列实以减下实。而左方下禾虽去一,以法为母,于率不通。故先以法乘,其通而同之。俱令法为母,而除下禾实。以下禾先见之实令乘下禾秉数,即得下禾一位之列实。减于下实,则其数是中禾之实也。〕 余,如中禾秉数而一,即中禾之实。 〔余,中禾一位之实也。故以一位秉数约之,乃得一秉之实也。〕 求上禾,亦以法乘右行下实,而除下禾、中禾之实。 〔此右行三禾共实,合三位之实。故以二位秉数约之,乃得一秉之实。今中下禾之实其数并见,令乘右行之禾秉以减之。故亦如前各求列实,以减下实也。〕 余,如上禾秉数而一,即上禾之实。实皆如法,各得一斗。 〔三实同用,不满法者,以法命之。母、实皆当约之。〕 今有上禾七秉,损实一斗,益之下禾二秉,而实一十斗;下禾八秉,益实一斗,与上禾二秉,而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何?答曰:上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八。下禾一秉实五十二分斗之四十一。 术曰:如方程。损之曰益,益之曰损。 〔问者之辞虽?今按:实云上禾七秉,下禾二秉,实一十一斗;上禾二秉,下禾八秉,实九斗也。“损之曰益”,言损一斗,余当一十斗;今欲全其实,当加所损也。“益之曰损”,言益实以一斗,乃满一十斗;今欲知本实,当减所加,即得也。〕 损实一斗者,其实过一十斗也;益实一斗者,其实不满一十斗也。 〔重谕损益数者,各以损益之数损益之也。〕 今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,实皆不满斗。上取中、中取下、下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何?答曰上禾一秉实二十五分斗之九。中禾一秉实二十五分斗之七。下禾一秉实二十五分斗之四。 术曰:如方程。各置所取。 〔置上禾二秉为右行之上,中禾三秉为中行之中,下禾四秉为左行之下,所取一秉及实一斗各从其位。诸行相借取之物皆依此例。〕 以正负术入之。 正负 术曰: 〔今两算得失相反,要令正负以名之。正算赤,负算黑,否则以邪正为异。方程自有赤、黑相取,法、实数相推求之术。而其并减之势不得广通,故使赤、黑相消夺之,于算或减或益。同行异位殊为二品,各有并、减之差见于下焉。着此二条,特系之禾以成此二条之意。故赤、黑相杂足以定上下之程,减、益虽殊足以通左右之数,差、实虽分足以应同异之率。然则其正无入以负之,负无入以正之,其率不妄也。〕 同名相除, 〔此谓以赤除赤,以黑除黑,行求相减者,为去头位也。然则头位同名者,当用此条,头位异名者,当用下条。〕 异名相益, 〔益行减行,当各以其类矣。其异名者,非其类也。非其类者,犹无对也,非所得减也。故赤用黑对则除,黑;无对则除,黑;黑用赤对则除,赤;无对则除,赤;赤黑并于本数。此为相益之,皆所以为消夺。消夺之与减益成一实也。术本取要,必除行首。至于他位,不嫌多少,故或令相减,或令相并,理无同异而一也。〕 正无入负之,负无入正之。 〔无入,为无对也。无所得减,则使消夺者居位也。其当以列实或减下实,而行中正负杂者亦用此条。此条者,同名减实,异名益实,正无入负之,负无入正之也。〕 其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。 〔此条异名相除为例,故亦与上条互取。凡正负所以记其同异,使二品互相取而已矣。言负者未必负于少,言正者未必正于多。故每一行之中虽复赤黑异算无伤。然则可得使头位常相与异名。此条之实兼通矣,遂以二条反覆一率。观其每与上下互相取位,则随算而言耳,犹一术也。又,本设诸行,欲因成数以相去耳。故其多少无限,令上下相命而已。若以正负相减,如数有旧增法者,每行可均之,不但数物左右之也。〕 今有上禾五秉,损实一斗一升,当下禾七秉;上禾七秉,损实二斗五升,当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何?答曰:上禾一秉五升。下禾一秉二升。 术曰:如方程。置上禾五秉正,下禾七秉负,损实一斗一升正。 〔言上禾五秉之实多,减其一斗一升,余,是与下禾七秉相当数也。故互其算,令相折除,以一斗一升为差。为差者,上禾之余实也。〕 次置上禾七秉正,下禾五秉负,损实二斗五升正。以正负术入之。 〔按:正负之术,本设列行,物程之数不限多少,必令与实上下相次,而以每行各自为率。然而或减或益,同行异位,殊为二品,各自并、减,之差见于下也。〕 今有上禾六秉,损实一斗八升,当下禾一十秉;下禾一十五秉,损实五升,当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何?答曰:上禾一秉实八升。下禾一秉实三升。 术曰:如方程。置上禾六秉正,下禾一十秉负,损实一斗八升正。次,上禾五秉负,下禾一十五秉正,损实五升正。以正负术入之。 〔言上禾六秉之实多,减损其一斗八升,余是与下禾十秉相当之数。故亦互其算,而以一斗八升为差实。差实者,上禾之余实。〕 今有上禾三秉,益实六斗,当下禾一十秉;下禾五秉,益实一斗,当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何?答曰:上禾一秉实八斗。下禾一秉实三斗。 术曰:如方程。置上禾三秉正,下禾一十秉负,益实六斗负。次置上禾二秉负,下禾五秉正,益实一斗负。以正负术入之。 〔言上禾三秉之实少,益其六斗,然后于下禾十秉相当也。故亦互其算,而以六斗为差实。差实者,下禾之余实。〕 今有牛五,羊二,直金十两;牛二,羊五,直金八两。问牛、羊各直金几何?答曰:牛一直金一两二十一分两之一十三。羊一直金二十一分两之二十。 术曰:如方程。 〔假令为同齐,头位为牛,当相乘。右行定,更置牛十,羊四,直金二十两;左行:牛十,羊二十五,直金四十两。牛数等同,金多二十两者,羊差二十一使之然也。以少行减多行,则牛数尽,惟羊与直金之数见,可得而知也。以小推大,虽四五行不异也。〕 今有卖牛二,羊五,以买一十三豕,有余钱一千;卖牛三,豕三,以买九羊,钱适足;卖六羊,八豕,以买五牛,钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何?答曰牛价一千二百。羊价五百。豕价三百。 术曰:如方程。置牛二,羊五正,豕一十三负,余钱数正;次,牛三正,羊九负,豕三正;次五牛负,六羊正,八豕正,不足钱负。以正负术入之。 〔此中行买、卖相折,钱适足,故但互买卖算而已。故下无钱直也。设欲以此行如方程法,先令二牛遍乘中行,而以右行直除之。是故终于下实虚缺矣。故注曰正无实负,负无实正,方为类也。方将以别实加适足之数与实物作实。 盈不足章“黄金白银”与此相当。“假令黄金九,白银一十一,称之重适等。交易其一,金轻十三两。问金、银一枚各重几何?”与此同。〕 今有五雀六燕,集称之衡,雀俱重,燕俱轻。一雀一燕交而处,衡适平。并雀、燕重一斤。问雀、燕一枚各重几何?答曰:雀重一两一十九分两之一十三。燕重一两一十九分两之五。 术曰:如方程。交易质之,各重八两。 〔此四雀一燕与一雀五燕衡适平,并重一斤,故各八两。列两行程数。左行头位其数有一者,令右行遍除。亦可令于左行而取其法、实于左。左行数多,以右行取其数。左头位减尽,中、下位算当燕与实。右行不动。左上空,中法,下实,即每枚当重宜可知也。按:此四雀一燕与一雀五燕其重等,是三雀、四燕重相当。雀率重四,燕率重三也。诸再程之率皆可异术求也,即其数也。〕 今有甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何?答曰:甲持三十七钱半。乙持二十五钱。 术曰:如方程。损益之。 〔此问者言一甲,半乙而五十;太半甲,一乙亦五十也。各以分母乘其全,内子。行定:二甲,一乙而钱一百;二甲,三乙而钱一百五十。于是乃如方程。诸物有分者放此。〕 今有二马,一牛,价过一万,如半马之价;一马,二牛,价不满一万,如半牛之价。问牛、马价各几何?答曰:马价五千四百五十四钱一十一分钱之六。牛价一千八百一十八钱一十一分钱之二。 术曰:如方程。损益之。 〔此一马半与一牛价直一万也,二牛半与一马亦直一万也。一马半与一牛直钱一万,通分内子,右行为三马,二牛,直钱二万。二牛半与一马直钱一万,通分内子,左行为二马,五牛,直钱二万也。〕 今有武马一匹,中马二匹,下马三匹,皆载四十石至阪,皆不能上。武马借中马一匹,中马借下马一匹,下马借武马一匹,乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何?答曰:武马一匹力引二十二石七分石之六。中马一匹力引一十七石七分石之一。下马一匹力引五石七分石之五。 术曰:如方程。各置所借,以正负术入之。 今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠。乙三绠不足,以丙一绠;丙四绠不足,以丁一绠;丁五绠不足,以戊一绠;戊六绠不足,以甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮。问井深、绠长各几何?答曰:井深七丈二尺一寸。甲绠长二丈六尺五寸。乙绠长一丈九尺一寸。丙绠长一丈四尺八寸。丁绠长一丈二尺九寸。戊绠长七尺六寸。 术曰:如方程。以正负术入之。 〔此率初如方程为之,名各一逮井。其后,法得七百二十一,实七十六,是为七百二十一绠而七十六逮井,并用逮之数。以法除实者,而戊一绠逮井之数定,逮七百二十一分之七十六。是故七百二十一为井深,七十六为戊绠之长,举率以言之。〕 今有白禾二步,青禾三步,黄禾四步,黑禾五步,实各不满斗。白取青、黄,青取黄、黑,黄取黑、白,黑取白、青,各一步,而实满斗。问白、青、黄、黑禾实一步各几何?答曰:白禾一步实一百一十一分斗之三十三。青禾一步实一百一十一分斗之二十八。黄禾一步实一百一十一分斗之一十七。黑禾一步实一百一十一分斗之一十。 术曰:如方程。各置所取,以正负术入之。 今有甲禾二秉,乙禾三秉,丙禾四秉,重皆过于石。甲二重如乙一,乙三重如丙一,丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何?答曰:甲禾一秉重二十三分石之一十七。乙禾一秉重二十三分石之一十一。丙禾一秉重二十三分石之一十。 术曰:如方程。置重过于石之物为负。 〔此问者言甲禾二秉之重过于一石也。其过者何云?如乙一秉重矣。互其算,令相折除,而一以石为之差实。差实者,如甲禾余实。故置算相与同也。〕 以正负术入之。 〔此入,头位异名相除者,正无入正之,负无入负之也。〕 今有令一人,吏五人,从者一十人,食鸡一十;令一十人,吏一人,从者五人,食鸡八;令五人,吏一十人,从者一人,食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几何?答曰令一人食一百二十二分鸡之四十五。吏一人食一百二十二分鸡之四十一。从者一人食一百二十二分鸡之九十七。 术曰:如方程。以正负术入之。 今有五羊,四犬,三鸡,二兔,直钱一千四百九十六;四羊,二犬,六鸡,三兔,直钱一千一百七十五;三羊,一犬,七鸡,五兔,直钱九百五十八;二羊,三犬,五鸡,一兔,直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何?答曰:羊价一百七十七。犬价一百二十一。鸡价二十三。兔价二十九。 术曰:如方程。以正负术入之。 今有麻九斗,麦七斗,菽三斗,荅二斗,黍五斗,直钱一百四十;麻七斗,麦六斗,菽四斗,荅五斗,黍三斗,直钱一百二十八;麻三斗,麦五斗,菽七斗,荅六斗,黍四斗,直钱一百一十六;麻二斗,麦五斗,菽三斗,荅九斗,黍四斗,直钱一百一十二;麻一斗,麦三斗,菽二斗,荅八斗,黍五斗,直钱九十五。问一斗直几何?荅曰:麻一斗七钱。麦一斗四钱。菽一斗三钱。荅一斗五钱。黍一斗六钱。 术曰:如方程。以正负术入之。 〔此麻麦与均输、少广之章重衰、积分皆为大事。其拙于精理徒按本术者,或用算而布毡,方好烦而喜误,曾不知其非,反欲以多为贵。故其算也,莫不暗于设通而专于一端。至于此类,苟务其成,然或失之,不可谓要约。更有异术者,庖丁解牛,游刃理间,故能历久其刃如新。夫数,犹刃也,易简用之则动中庖丁之理。故能和神爱刃,速而寡尤。凡九章为大事,按法皆不尽一百算也。虽布算不多,然足以算多。世人多以方程为难,或尽布算之象在缀正负而已,未暇以论其设动无方,斯胶柱调瑟之类。聊复恢演,为作新术,着之于此,将亦启导疑意。网罗道精,岂传之空言?记其施用之例,着策之数,每举一隅焉。 方程新术曰:以正负术入之。令左、右相减,先去下实,又转去物位,则其求一行二物正负相借者,是其相当之率。又令二物与他行互相去取,转其二物相借之数,即皆相当之率也。各据二物相当之率,对易其数,即各当之率也。更置成行及其下实,各以其物本率今有之,求其所同。并,以为法。其当相并而行中正负杂者,同名相从,异名相消,余,以为法。以下置为实。实如法,即合所问也。一物各以本率今有之,即皆合所问也。率不通者,齐之。 其一术曰:置群物通率为列衰。更置成行群物之数,各以其率乘之,并,以为法。其当相并而行中正负杂者,同名相从,异名相消,余为法。以成行下实乘列衰,各自为实。实如法而一,即得。 以旧术为之。凡应置五行。今欲要约,先置第三行,减以第四行,又减第五行;次置第二行,以第二行减第一行,又减第四行。去其头位;余,可半;次置右行及第二行。去其头位;次以右行去第四行头位,次以左行去第二行头位,次以第五行去第一行头位;次以第二行去第四行头位;余,可半;以右行去第二行头位,以第二行去第四行头位。余,约之为法、实。实如法而一,得六,即有黍价。以法治第二行,得荅价,右行得菽价,左行得麦价,第三行麻价。如此凡用七十七算。 以新术为此。先以第四行减第三行;次以第三行去右行及第二行、第四行下位,又以减左行下位,不足减乃止;次以左行减第三行下位,次以第三行去左行下位。讫,废去第三行。次以第四行去左行下位,又以减右行下位;次以右行去第二行及第四行下位;次以第二行减第四行及左行头位;次以第四行减左行菽位,不足减乃止;次以左行减第二行头位,余,可再半;次以第四行去左行及第二行头位,次以第二行去左行头位,余,约之,上得五,下得三,是菽五当荅;次以左行去第二行菽位,又以减第四行及右行菽位,不足减乃止;次以右行减第二行头位,不足减乃止;次以第二行去右行头位,次以左行去右行头位;余,上得六,下得五,是为荅六当黍五;次以左行去右行荅位,余,约之,上为二,下为一;次以右行去第二行下位,以第二行去第四行下位,又以减左行下位;次,左行去第二行下位,余,上得三,下得四,是为麦三当菽四;次以第二行减第四行下位;次以第四行去第二行下位;余,上得四,下得七,是为麻四当麦七。是为相当之率举矣。据麻四当麦七,即麻价率七而麦价率四;又麦三当菽四,即为麦价率四而菽价率三;又菽五当荅三,即为菽价率三而荅价率五;又荅六当黍五,即为荅价率五而黍价率六;而率通矣。更置第三行,以第四行减之,余有麻一斗,菽四斗正,荅三斗负,下实四正。求其同为麻之数,以菽率三、荅率五各乘其斗数,如麻率七而一,菽得一斗七分斗之五正,荅得二斗七分斗之一负。则菽、荅化为麻。以并之,令同名相从,异名相消,余得定麻七分斗之四,以为法。置四为实,而分母乘之,实得二十八,而分子化为法矣以法除得七,即麻一斗之价。置麦率四、菽率三、荅率五、黍率六,皆以麻乘之,各自为实。以麻率七为法。所得即各为价。 亦可使置本行实与物同通之,各以本率今有之,求其本率所得。并,以为法。如此,即无正负之异矣,择异同而已。 又可以一术为之。置五行通率,为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六,以为列衰。成行麻一斗,菽四斗正,荅三斗负,各以其率乘之。讫,令同名相从,异名相消,余为法。又置下实乘列衰,所得各为实。此可以置约法,则不复乘列衰,各以列衰为价。如此则凡用一百二十四算也。〕
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