卷五

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○商功(以御功程积实) 今有穿地,积一万尺。问为坚、壤各几何?答曰:为坚七千五百尺;为壤一万二千五百尺。 术曰:穿地四为壤五, 〔壤谓息土。〕 为坚三, 〔坚谓筑土。〕 为墟四。 〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕 以穿地求壤,五之;求坚,三之;皆四而一。 〔今有术也。〕 以壤求穿,四之;求坚,三之;皆五而一。以坚求穿,四之;求壤,五之;皆三而一。 〔淳风等按:此术并今有之义也。重张穿地积一万尺,为所有数,坚率三、壤率五各为所求率,穿率四为所有率,而今有之,即得。〕 城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。 术曰:并上下广而半之, 〔损广补狭。〕 以高若深乘之,又以袤乘之,即积尺。 〔按:此术“并上下广而半之”者,以盈补虚,得中平之广。“以高若深乘之”,得一头之立幂。“又以袤乘之”者,得立实之积,故为积尺。〕 今有穿地,袤一丈六尺,深一丈,上广六尺,为垣积五百七十六尺。问穿地下广几何?答曰:三尺五分尺之三。 术曰:置垣积尺,四之为实。 〔穿地四,为坚三。垣,坚也。以坚求穿地,当四之,三而一也。〕 以深、袤相乘, 〔为深、袤之立实也。〕 又三之,为法。 〔以深、袤乘之立实除垣积,即坑广。又三之者,与坚率并除之。〕 所得,倍之。 〔为坑有两广,先并而半之,即为广狭之中平。今先得其中平,故又倍之知,两广全也。〕 减上广,余即下广。 〔按:此术穿地四,为坚三。垣即坚也。今以坚求穿地,当四乘之,三而一。深、袤相乘者,为深袤立幂。以深袤立幂除积,即坑广。又三之,为法,与坚率并除。所得,倍之者,为坑有两广,先并而半之,为中平之广。今此得中平之广,故倍之还为两广并。故减上广,余即下广也。〕 今有城下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺。问积几何?答曰:一百八十九万七千五百尺: 今有垣下广三尺,上广二尺,高一丈二尺,袤二十二丈五尺八寸。问积几何?答曰:六千七百七十四尺。 今有堤下广二丈,上广八尺,高四尺,袤一十二丈七尺。问积几何?答曰:七千一百一十二尺。 冬程人功四百四十四尺,问用徒几何?答曰:一十六人二百一十一分人之二。 术曰:以积尺为实,程功尺数为法,实如法而一,即用徒人数。 今有沟,上广一丈五尺,下广一丈,深五尺,袤七丈。问积几何?答曰:四千三百七十五尺。 春程人功七百六十六尺,并出土功五分之一,定功六百一十二尺五分尺之四。问用徒几何?答曰:七人三千六十四分人之四百二十七。 术曰:置本人功,去其五分之一,余为法。 〔“去其五分之一”者,谓以四乘,五除也。〕 以沟积尺为实,实如法而一,得用徒人数。 〔按:此术“置本人功,去其五分之一”者,谓以四乘之,五而一,除去出土之功,取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者,法里有分,实里通之,故实如法而一,即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺,故用徒人数。不尽者,等数约之而命分也。〕 今有堑,上广一丈六尺三寸,下广一丈,深六尺三寸,袤一十三丈二尺一寸。问积几何?答曰:一万九百四十三尺八寸。 〔八寸者,谓穿地方尺,深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫,弃之。文欲从易,非其常定也。〕 夏程人功八百七十一尺,并出土功五分之一,沙砾水石之功作太半,定功二百三十二尺一十五分尺之四。问用徒几何?答曰:四十七人三千四百八十四分人之四百九。 术曰:置本人功,去其出土功五分之一,又去沙砾水石之功太半,余为法。以堑积尺为实。实如法而一,即用徒人数。 〔按:此术“置本人功,去其出土功五分之一”者,谓以四乘,五除。“又去沙砾水石作太半”者,一乘,三除,存其少半,取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘堑积尺为实者,为法里有分,实里通之,故实如法而一,即用徒人数。不尽者,等数约之而命分也。〕 今有穿渠,上广一丈八尺,下广三尺六寸,深一丈八尺,袤五万一千八百二十四尺。问积几何?答曰:一千七万四千五百八十五尺六寸。 秋程人功三百尺,问用徒几何?答曰:三万三千五百八十二人,功内少一十四尺四寸。 一千人先到,问当受袤几何?答曰:一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。 术曰:以一人功尺数乘先到人数为实。 〔以一千人一日功为实。立实为功。〕 并渠上下广而半之,以深乘之,为法。 〔以渠广深之立实为法。〕 实如法得袤尺。 今有方堡壔, 〔堡者,堡城也;壔,音丁老反,又音纛,谓以土拥木也。〕 方一丈六尺,高一丈五尺。问积几何?答曰:三千八百四十尺。 术曰:方自乘,以高乘之,即积尺。 今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺。问积几何?答曰:二千一百一十二尺。 〔于徽术,当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。 淳风等按:依密率,积二千一十六尺。〕 术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一。 〔此章诸术亦以周三径一为率,皆非也。于徽术当以周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,三百一十四而一。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田,而以高乘幂也。 淳风等按:依密率,以七乘之,八十八而一。〕 今有方亭,下方五丈,上方四丈,高五丈。问积几何?答曰:一十万一千六百六十六尺太半尺。 术曰:上下方相乘,又各自乘,并之,以高乘之,三而一。 〔此章有堑堵、阳马,皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品,以效高深之积。假令方亭,上方一尺,下方三尺,高一尺。其用棋也,中央立方一,四面堑堵四,四角阳马四。上下方相乘为三尺,以高乘之,得积三尺,是为得中央立方一,四面堑堵各一。下方自乘为九,以高乘之,得积九尺。是为中央立方一、四面堑堵各二、四角阳马各三也。上方自乘,以高乘之,得积一尺,又为中央立方一。凡三品棋皆一而为三,故三而一,得积尺。用棋之数:立方三、堑堵阳马各十二,凡二十七,棋十三。更差次之,而成方亭者三,验矣。为术又可令方差自乘,以高乘之,三而一,即四阳马也;上下方相乘,以高乘之,即中央立方及四面堑堵也。并之,以为方亭积数也。〕 今有圆亭,下周三丈,上周二丈,高一丈。问积几何?答曰:五百二十七尺九分尺之七。 〔于徽术,当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。 淳风等按:依密率,为积五百三尺三十三分尺之二十六。〕 术曰:上下周相乘,又各自乘,并之,以高乘之,三十六而一。 〔此术周三径一之义。合以三除上下周,各为上下径。以相乘,又各自乘,并,以高乘之,三而一,为方亭之积。假令三约上下周俱不尽,还通之,即各为上下径。令上下径相乘,又各自乘,并,以高乘之,为三方亭之积分。此合分母三相乘得九,为法,除之。又三而一,得方亭之积。从方亭求圆亭之积,亦犹方幂中求圆幂。乃令圆率三乘之,方率四而一,得圆亭之积。前求方亭之积,乃以三而一;今求圆亭之积,亦合三乘之。二母既同,故相准折,惟以方幂四乘分母九,得三十六,而连除之。于徽术,当上下周相乘,又各自乘,并,以高乘之,又二十五乘之,九百四十二而一。此方亭四角圆杀,比于方亭,二百分之一百五十七。为术之意,先作方亭,三而一。则此据上下径为之者,当又以一百五十七乘之,六百而一也。今据周为之,若于圆堡昪,又以二十五乘之,三百一十四而一,则先得三圆亭矣。故以三百一十四为九百四十二而一,并除之。 淳风等按:依密率,以七乘之,二百六十四而一。〕 今有方锥,下方二丈七尺,高二丈九尺。问积几何?答曰:七千四十七尺。 术曰:下方自乘,以高乘之,三而一。 〔按:此术假令方锥下方二尺,高一尺,即四阳马。如术为之,用十二阳马成三方锥。故三而一,得方锥也。〕 今有圆锥,下周三丈五尺,高五丈一尺。问积几何?答曰:一千七百三十五尺一十二分尺之五。 〔于徽术,当积一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。 淳风等按:依密率,为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。〕 术曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。 〔按:此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方令自乘,以高乘之,令三而一,得大方锥之积。大锥方之积合十二圆矣。今求一圆,复合十二除之,故令三乘十二,得三十六,而连除。于徽术,当下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,九百四十二而一。圆锥比于方锥亦二百分之一百五十七。令径自乘者,亦当以一百五十七乘之,六百而一。其说如圆亭也。 淳风等按:依密率,以七乘之,二百六十四而一。〕 今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺。问积几何?答曰:四万六千五百尺。 术曰:广袤相乘,以高乘之,二而一。 〔邪解立方,得两堑堵。虽复椭方,亦为堑堵。故二而一。此则合所规棋。推其物体,盖为堑上叠也。其形如城,而无上广,与所规棋形异而同实。未闻所以名之为堑堵之说也。〕 今有阳马,广五尺,袤七尺,高八尺。问积几何?答曰:九十三尺少半尺。 术曰:广袤相乘,以高乘之,三而一。 〔按:此术阳马之形,方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。假令广袤各一尺,高一尺,相乘,得立方积一尺。邪解立方,得两堑堵;邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑。阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。合两鳖臑成一阳马,合三阳马而成一立方,故三而一。验之以棋,其形露矣。悉割阳马,凡为六鳖臑。观其割分,则体势互通,盖易了也。其棋或修短、或广狭、立方不等者,亦割分以为六鳖臑。其形不悉相似。然见数同,积实均也。鳖臑殊形,阳马异体。然阳马异体,则不纯合。不纯合,则难为之矣。何则?按:邪解方棋以为堑堵者,必当以半为分;邪解堑堵以为阳马者,亦必当以半为分,一从一横耳。设以阳马为分内,鳖臑为分外。棋虽或随修短广狭,犹有此分常率知,殊形异体,亦同也者,以此而已。其使鳖臑广、袤、高各二尺,用堑堵、鳖臑之棋各二,皆用赤棋。又使阳马之广、袤、高各二尺,用立方之棋一,堑堵、阳马之棋各二,皆用黑棋。棋之赤、黑,接为堑堵,广、袤、高各二尺。于是中攽其广、袤,又中分其高。令赤、黑堑堵各自适当一方,高一尺,方一尺,每二分鳖臑,则一阳马也。其余两端各积本体,合成一方焉。是为别种而方者率居三,通其体而方者率居一。虽方随棋改,而固有常然之势也。按:余数具而可知者有一、二分之别,则一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之,置余广、袤、高之数,各半之,则四分之三又可知也。半之弥少,其余弥细,至细曰微,微则无形。由是言之,安取余哉?数而求穷之者,谓以情推,不用筹算。鳖臑之物,不同器用;阳马之形,或随修短广狭。然不有鳖臑,无以审阳马之数,不有阳马,无以知锥亭之数,功实之主也。〕 今有鳖臑,下广五尺,无袤;上袤四尺,无广;高七尺。问积几何?答曰:二十三尺少半尺。 术曰:广袤相乘,以高乘之,六而一。 〔按:此术臑者,臂节也。或曰:半阳马,其形有似鳖肘,故以名云。中破阳马,得两鳖臑。鳖臑之见数即阳马之半数。数同而实据半,故云六而一,即得。〕 今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺;末广八尺,无深;袤七尺。问积几何?答曰:八十四尺。 术曰:并三广,以深乘之,又以袤乘之,六而一。 〔按:此术羡除,实隧道也。其所穿地,上平下邪,似两鳖臑夹一堑堵,即羡除之形。假令用此棋:上广三尺,深一尺,下广一尺;末广一尺,无深;袤一尺。下广、末广皆堑堵之广。上广者,两鳖臑与一堑堵相连之广也。以深、袤乘,得积五尺。鳖臑居二,堑堵居三,其于本棋皆一为六,故六而一。合四阳马以为方锥。邪画方锥之底,亦令为中方。就中方削而上合,全为中方锥之半。于是阳马之棋悉中解矣。中锥离而为四鳖臑焉。故外锥之半亦为四鳖臑。虽背正异形,与常所谓鳖臑参不相似,实则同也。所云夹堑堵者,中锥之鳖臑也。凡堑堵上袤短者,连阳马也。下袤短者,与鳖臑连也。上、下两袤相等知,亦与鳖臑连也。并三广,以高、袤乘,六而一,皆其积也。今此羡除之广即堑堵之袤也。 按:此本是三广不等,即与鳖臑连者。别而言之:中央堑堵广六尺,高三尺,袤七尺。末广之两旁,各一小鳖臑,皆与堑堵等。令小鳖臑居里,大鳖臑居表,则大鳖臑皆出椭方锥:下广二尺,袤六尺,高七尺。分取其半,则为袤三尺。以高、广乘之,三而一,即半锥之积也。邪解半锥得此两大鳖臑。求其积,亦当六而一,合于常率矣。按:阳马之棋两邪,棋底方。当其方也,不问旁角而割之,相半可知也。推此上连无成不方,故方锥与阳马同实。角而割之者,相半之势。此大小鳖臑可知更相表里,但体有背正也。〕 今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈。问积几何?答曰:五千尺。 术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一。 〔推明义理者:旧说云:“凡积刍有上下广曰童,甍,谓其屋盖之苫也。”是故甍之下广、袤与童之上广、袤等。正解方亭两边,合之即刍甍之形也。假令下广二尺,袤三尺;上袤一尺,无广;高一尺。其用棋也,中央堑堵二,两端阳马各二。倍下袤,上袤从之,为七尺。以下广乘之,得幂十四尺。阳马之幂各居二,堑堵之幂各居三。以高乘之,得积十四尺。其于本棋也,皆一而为六。故六而一,即得。亦可令上下袤差乘广,以高乘之,三而一,即四阳马也;下广乘上袤而半之,高乘之,即二堑堵;并之,以为甍积也。〕 刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。 术曰:倍上袤,下袤从之;亦倍下袤,上袤从之;各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一。 〔按:此术假令刍童上广一尺,袤二尺;下广三尺,袤四尺;高一尺。其用棋也,中央立方二,四面堑堵六,四角阳马四。倍下袤为八,上袤从之,为十,以高、广乘之,得积三十尺。是为得中央立方各三,两端堑堵各四,两旁堑堵各六,四角阳马亦各六。复倍上袤,下袤从之,为八,以高、广乘之,得积八尺。是为得中央立方亦各三,两端堑堵各二。并两旁,三品棋皆一而为六。故六而一,即得。 为术又可令上下广袤差相乘,以高乘之,三而一,亦四阳马;上下广袤互相乘,并,而半之,以高乘之,即四面六堑堵与二立方;并之,为刍童积。又可令上下广袤互相乘而半之,上下广袤又各自乘,并,以高乘之,三而一,即得也。〕 其曲池者,并上中、外周而半之,以为上袤;亦并下中、外周而半之,以为下袤。 〔此池环而不通匝,形如盘蛇,而曲之。亦云周者,谓如委谷依垣之周耳。引而伸之,周为袤。求袤之意,环田也。〕 今有刍童,下广二丈,袤三丈;上广三丈,袤四丈;高三丈。问积几何?答曰:二万六千五百尺。 今有曲池,上中周二丈,外周四丈,广一丈;下中周一丈四尺,外周二丈四尺,广五尺;深一丈。问积几何?答曰:一千八百八十三尺三寸少半寸。 今有盘池,上广六丈,袤八丈;下广四丈,袤六丈,深二丈。问积几何?答曰:七万六百六十六尺太半尺。 负土往来七十步,其二十步上下棚除,棚除二当平道五;踟蹰之间十加一;载输之间三十步,定一返一百四十步。土笼积一尺六寸。秋程人功行五十九里半。问人到积尺及用徒各几何?答曰:人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二。 术曰:以一笼积尺乘程行步数,为实。往来上下棚除二当平道五。 〔棚,阁;除,斜道;有上下之难,故使二当五也。〕 置定往来步数,十加一,及载输之间三十步,以为法。除之,所得即一人所到尺。以所到约积尺,即用徒人数。 〔按:此术棚,阁;除,斜道;有上下之难,故使二当五。置定往来步数,十加一,及载输之间三十步,是为往来一返凡用一百四十步。于今有术为所有率,笼积一尺六寸为所求率,程行五十九里半为所有数,而今有之,即所到尺数。以所到约积尺,即用徒人数者,此一人之积除其众积尺,故得用徒人数。 为术又可令往来一返所用之步约程行为返数,乘笼积为一人所到。 以此术与今有术相反覆,则乘除之或先后,意各有所在而同归耳。〕 今有冥谷,上广二丈,袤七丈;下广八尺,袤四丈;深六丈五尺。问积几何?答曰:五万二千尺。 载土往来二百步,载输之间一里。程行五十八里;六人共车,车载三十四尺七寸。问人到积尺及用徒各几何?答曰:人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六。 术曰:以一车积尺乘程行步数,为实。置今往来步数,加载输之间一里,以车六人乘之,为法。除之,所得即一人所到尺。以所到约积尺,即用徒人数。 〔按:此术今有之义。以载输及往来并得五百步,为所有率,车载三十四尺七寸为所求率,程行五十八里,通之为步,为所有数,而今有之,所得即一车所到。欲得人到者,当以六人除之,即得。术有分,故亦更令乘法而并除者,亦用以车尺数以为一人到土率,六人乘五百步为行率也。又亦可五百步为行率,令六人约车积尺数为一人到土率,以负土术入之。入之者,亦可求返数也。要取其会通而已。术恐有分,故令乘法而并除。以所到约积尺,即用徒人数者,以一人所到积尺除其众积,故得用徒人数也。〕 今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈。问积及为粟几何?答曰:积八千尺。 〔于徽术,当积七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。 淳风等按:依密率,为积七千六百三十六尺十一分尺之四。〕 为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。 〔于徽术,当粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。 淳风等按:依密率,为粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。〕 今有委菽依垣,下周三丈,高七尺。问积及为菽各几何?答曰:积三百五十尺。 〔依徽术,当积三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。 淳风等按:依密率,为积三百三十四尺十一分尺之一。〕 为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。 〔依徽术,当菽一百三十七斛一万二千七百一十七分斛之七千七百七十一。 淳风等按:依密率,为菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。〕 今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问积及为米各几何?答曰:积三十五尺九分尺之五。 〔于徽术,当积三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。 淳风等按:依密率,当积三十三尺三十三分尺之三十一。〕 为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。 〔于徽术,当米二十斛三万八千一百五十一分斛之三万六千九百八十。 淳风等按:依密率,为米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。〕 委粟 术曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。 〔此犹圆锥也。于徽术,亦当下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,九百四十二而一也。〕 其依垣者, 〔居圆锥之半也。〕 十八而一。 〔于徽术,当令此下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,四百七十一而一。依垣之周,半于全周。其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一,故半全周之法以为法也。〕 其依垣内角者, 〔角,隅也,居圆锥四分之一也。〕 九而一。 〔于徽术,当令此下周自乘,而倍之,以高乘之,又以二十五乘之,四百七十一而一。依隅之周,半于依垣。其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一,当半依垣之法以为法。法不可半,故倍其实。又此术亦用周三径一之率。假令以三除周,得径;若不尽,通分内子,即为径之积分。令自乘,以高乘之,为三方锥之积分。母自相乘得九,为法,又当三而一,得方锥之积。从方锥中求圆锥之积,亦犹方幂求圆幂。乃当三乘之,四而一,得圆锥之积。前求方锥积,乃以三而一;今求圆锥之积,复合三乘之。二母既同,故相准折。惟以四乘分母九,得三十六而连除,圆锥之积。其圆锥之积与平地聚粟同,故三十六而一。 淳风等按:依密率,以七乘之,其平地者,二百六十四而一;依垣者,一百三十二而一;依隅者,六十六而一也。〕 程粟一斛积二尺七寸; 〔二尺七寸者,谓方一尺,深二尺七寸,凡积二千七百寸。〕 其米一斛积一尺六寸五分寸之一; 〔谓积一千六百二十寸。〕 其菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三。 〔谓积二千四百三十寸。此为以精粗为率,而不等其概也。粟率五,米率三,故米一斛于粟一斛,五分之三;菽、荅、麻、麦亦如本率云。故谓此三量器为概,而皆不合于今斛。当今大司农斛,圆径一尺三寸五分五厘,正深一尺,于徽术,为积一千四百四十一寸,排成余分,又有十分寸之三。王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘,径一尺三寸六分八厘七毫。以徽术计之,于今斛为容九斗七升四合有奇。《周官·考工记》:朅氏为量,深一尺,内方一尺而圆外,其实一釜。于徽术,此圆积一千五百七十寸。《左氏传》曰:“齐旧四量:豆、区、釜、钟。四升曰豆,各自其四,以登于釜。釜十则钟。”钟六斛四斗。釜六斗四升,方一尺,深一尺,其积一千寸。若此方积容六斗四升,则通外圆积成旁,容十斗四合一龠五分龠之三也。以数相乘之,则斛之制:方一尺而圆其外,庣旁一厘七毫,幂一百五十六寸四分寸之一,深一尺,积一千五百六十二寸半,容十斗。王莽铜斛与《汉书·律历志》所论斛同。〕 今有仓,广三丈,袤四丈五尺,容粟一万斛。问高几何?答曰:二丈。 术曰:置粟一万斛积尺为实。广、袤相乘为法。实如法而一,得高尺。 〔以广袤之幂除积,故得高。按:此术本以广袤相乘,以高乘之,得此积。今还元,置此广袤相乘为法,除之,故得高也。〕 今有圆囷, 〔圆囷,廪也,亦云圆囤也。〕 高一丈三尺三寸少半寸,容米二千斛。问周几何?答曰:五丈四尺。 〔于徽术,当周五丈五尺二寸二十分寸之九。 淳风等按:依密率,为周五丈五尺一百分尺之二十七。〕 术曰:置米积尺, 〔此积犹圆堡昪之积。〕 以十二乘之,令高而一。所得,开方除之,即周。 〔于徽术,当置米积尺,以三百一十四乘之,为实。二十五乘囷高为法。所得,开方除之,即周也。此亦据见幂以求周,失之于微少也。晋武库中有汉时王莽所作铜斛,其篆书字题斛旁云:律嘉量斛,方一尺而圆其外,庣旁九厘五毫,幂一百六十二寸;深一尺,积一千六百二十寸,容十斗。及斛底云:律嘉量斗,方尺而圆其外,庣旁九厘五毫,幂一尺六寸二分。深一寸,积一百六十二寸,容一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁,合、龠在斛耳上。后有赞文,与今律历志同,亦魏晋所常用。今粗疏王莽铜斛文字、尺、寸、分数,然不尽得升、合、勺之文字。按:此术本周自相乘,以高乘之,十二而一,得此积。今还元,置此积,以十二乘之,令高而一,即复本周自乘之数。凡物自乘,开方除之,复其本数。故开方除之,即得也。 淳风等按:依密率,以八十八乘之,为实。七乘囷高为法。实如法而一。开方除之,即周也。〕
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