卷四

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○少广(以御积幂方圆) 少广 〔淳风等按:一亩之田,广一步,长二百四十步。今欲截取其从少,以益其广,故曰少广。〕 术曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步, 〔淳风等按:以分母乘全步者,通其分也;以母乘子者,齐其子也。〕 各以其母除其子,置之于左,命通分者,又以分母遍乘诸分子及已通者,皆通而同之。并之为法。 〔淳风等按:诸子悉通,故可并之为法。亦宜用合分术,列数尤多,若用乘则算数至繁,故别制此术,从省约。〕 置所求步数,以全步积分乘之为实。 〔此以田广为法,以亩积步为实。法有分者,当同其母,齐其子,以同乘法实,而并齐于法。今以分母乘全步及子,子如母而一,并以并全法,则法实俱长,意亦等也。故如法而一,得从步数。〕 实如法而一,得从步。 今有田广一步半。求田一亩,问从几何?答曰:一百六十步。 术曰:下有半,是二分之一。以一为二,半为一,并之,得三,为法。置田二百四十步,亦以一为二乘之,为实。实如法得从步。 今有田广一步半、三分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:一百三十步一十一分步之一十。 术曰:下有三分,以一为六,半为三,三分之一为二,并之,得一十一,为法。置田二百四十步,亦以一为六乘之,为实。实如法得从步。 今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:一百一十五步五分步之一。 术曰:下有四分,以一为一十二,半为六,三分之一为四,四分之一为三,并之,得二十五,以为法。置田二百四十步,亦以一为一十二乘之,为实。实如法而一,得从步。 今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:一百五步一百三十七分步之一十五。 术曰:下有五分,以一为六十,半为三十,三分之一为二十,四分之一为一十五,五分之一为一十二,并之,得一百三十七,以为法。置田二百四十步,亦以一为六十乘之,为实。实如法得从步。 今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:九十七步四十九分步之四十七。 术曰:下有六分,以一为一百二十,半为六十,三分之一为四十,四分之一为三十,五分之一为二十四,六分之一为二十,并之,得二百九十四,以为法。置田二百四十步,亦以一为一百二十乘之,为实。实如法得从步。 今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:九十二步一百二十一分步之六十八。 术曰:下有七分,以一为四百二十,半为二百一十,三分之一为一百四十,四分之一为一百五,五分之一为八十四,六分之一为七十,七分之一为六十,并之,得一千八十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为四百二十乘之,为实。实如法得从步。 今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十八步七百六十一分步之二百三十二。 术曰:下有八分,以一为八百四十,半为四百二十,三分之一为二百八十,四分之一为二百一十,五分之一为一百六十八,六分之一为一百四十,七分之一为一百二十,八分之一为一百五,并之,得二千二百八十三,以为法。置田二百四十步,亦以一为八百四十乘之,为实。实如法得从步。 今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。 术曰:下有九分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为八百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七分之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,并之,得七千一百二十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为二千五百二十乘之,为实。实如法得从步。 今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩、问从几何?答曰:八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。 术曰:下有一十分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为八百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七分之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,十分之一为二百五十二,并之,得七千三百八十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二千五百二十乘之,为实。实如法得从步。 今有田广一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。 术曰:下有一十一分,以一为二万七千七百二十,半为一万三千八百六十,三分之一为九千二百四十,四分之一为六千九百三十,五分之一为五千五百四十四,六分之一为四千六百二十,七分之一为三千九百六十,八分之一为三千四百六十五,九分之一为三千八十,一十分之一为二千七百七十二,一十一分之一为二千五百二十,并之,得八万三千七百一十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二万七千七百二十乘之,为实。实如法得从步。 今有田广一步半、三分步之一、四分步之一,五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。 术曰:下有一十二分,以一为八万三千一百六十,半为四万一千五百八十,三分之一为二万七千七百二十,四分之一为二万七百九十,五分之一为一万六千六百三十二,六分之一为一万三千八百六十,七分之一为一万一千八百八十,八分之一为一万三百九十五,九分之一为九千二百四十,一十分之一为八千三百一十六,十一分之一为七千五百六十,十二分之一为六千九百三十,并之,得二十五万八千六十三,以为法。置田二百四十步,亦以一为八万三千一百六十乘之,为实。实如法得从步。 〔淳风等按:凡为术之意,约省为善。宜云“下有一十二分,以一为二万七千七百二十,半为一万三千八百六十,三分之一为九千二百四十,四分之一为六千九百三十,五分之一为五千五百四十四,六分之一为四千六百二十,七分之一为三千九百六十,八分之一为三千四百六十五,九分之一为三千八十,十分之一为二千七百七十二,十一分之一为二千五百二十,十二分之一为二千三百一十,并之,得八万六千二十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二万七千七百二十乘之,以为实。实如法得从步。”其术亦得知,不繁也。〕 今有积五万五千二百二十五步,问为方几何?答曰:二百三十五步。 又有积二万五千二百八十一步,问为方几何?答曰:一百五十九步。 又有积七万一千八百二十四步,问为方几何?答曰:二百六十八步。 又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一,问为方几何?答曰:七百五十一步半。 又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步,问为方几何?答曰:六万三千二十五步。 ○开方 〔求方幂之一面也。〕 术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。 〔言百之面十也。言万之面百也。〕 议所得,以一乘所借一算为法,而以除。 〔先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。〕 除已,倍法为定法。 〔倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,故曰定法。〕 其复除,折法而下。 〔欲除朱幂者,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘,而以除。如是当复步之而止,乃得相命。故使就上折下。〕 复置借算,步之如初。以复议一乘之, 〔欲除朱幂之角黄乙之幂,其意如初之所得也。〕 所得副以加定法,以除。以所得副从定法。 〔再以黄乙之面加定法者,是则张两青幂之袤。〕 复除,折下如前。若开之不尽者,为不可开,当以面命之。 〔术或有以借算加定法而命分者,虽粗相近,不可用也。凡开积为方,方之自乘当还复有积分。令不加借算而命分,则常微少;其加借算而命分,则又微多。其数不可得而定。故惟以面命之,为不失耳。譬犹以三除十,以其余为三分之一,而复其数可以举。不以面命之,加定法如前,求其微数。微数无名者以为分子,其一退以十为母,其再退以百为母。退之弥下,其分弥细,则朱幂虽有所弃之数,不足言之也。〕 若实有分者,通分内子为定实,乃开之。讫,开其母,报除。 〔淳风等按:分母可开者,并通之积先合二母。既开之后,一母尚存,故开分母,求一母为法,以报除也。〕 若母不可开者,又以母乘定实,乃开之。讫,令如母而一。 〔淳风等按:分母不可开者,本一母也。又以母乘之,乃合二母。既开之后,亦一母存焉,故令一母而一,得全面也。 又按:此术“开方”者,求方幂之面也。借一算者,假借一算,空有列位之名,而无除积之实。方隅得面,是故借算列之于下。“步之超一等”者,方十自乘,其积有百,方百自乘,其积有万,故超位,至百而言十,至万而言百。“议所得,以一乘所借算为法,而以除”者,先得黄甲之面,以方为积者两相乘,故开方除之,还令两面上下相命,是自乘而除之。“除已,倍法为定法”者,实积未尽,当复更除,故豫张两面朱幂袤,以待复除,故曰定法。“其复除,折法而下”者,欲除朱幂,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘之,而以除,如是,当复步之而止,乃得相命。故使就上折之而下。“复置借算,步之如初,以复议一乘之,所得副以加定法,以定法除”者。欲除朱幂之角黄乙之幂。“以所得副从定法”者,再以黄乙之面加定法,是则张两青幂之袤,故如前开之,即合所问。〕 今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何?答曰:一百三十五步。 〔于徽术,当周一百三十八步一十分步之一。 淳风等按:此依密率,为周一百三十八步五十分步之九。〕 又有积三百步,问为圆周几何?答曰:六十步。 〔于徽术,当周六十一步五十分步之十九。 淳风等按:依密率,为周六十一步一百分步之四十一。〕 开圆 术曰:置积步数,以十二乘之,以开方除之,即得周。 〔此术以周三径一为率,与旧圆田术相返覆也。于徽术,以三百一十四乘积,如二十五而一,所得,开方除之,即周也。开方除之,即径。是为据见幂以求周,犹失之于微少。其以二百乘积,一百五十七而一,开方除之,即径,犹失之于微多。 淳风等按:此注于徽术求周之法,其中不用“开方除之,即径”六字,今本有者,衍剩也。依密率,八十八乘之,七而一。按周三径一之率,假令周六径二,半周半径相乘得幂三,周六自乘得三十六。俱以等数除幂,得一周之数十二也。其积:本周自乘,合以一乘之,十二而一,得积三也。术为一乘不长,故以十二而一,得此积。今还原,置此积三,以十二乘之者,复其本周自乘之数。凡物自乘,开方除之,复其本数,故开方除之,即周。〕 今有积一百八十六万八百六十七尺, 〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者,曰立方。〕 问为立方几何?答曰:一百二十三尺。 又有积一千九百五十三尺八分尺之一,问为立方几何?答曰:一十二尺半。 又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,问为立方几何?答曰:三十九尺八分尺之七。 又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七,问为立方几何?答曰:一百二十四尺太半尺。 开立方 〔立方适等,求其一面也。〕 术曰:置积为实。借一算,步之,超二等。 〔言千之面十,言百万之面百。〕 议所得,以再乘所借一算为法,而除之。 〔再乘者,亦求为方幂。以上议命而除之,则立方等也。〕 除已,三之为定法。 〔为当复除,故豫张三面,以定方幂为定法也。〕 复除,折而下。 〔复除者,三面方幂以皆自乘之数,须得折、议,定其厚薄尔。开平幂者,方百之面十;开立幂者,方千之面十。据定法已有成方之幂,故复除当以千为百,折下一等也。〕 以三乘所得数,置中行。 〔设三廉之定长。〕 复借一算,置下行。 〔欲以为隅方。立方等未有定数,且置一算定其位。〕 步之,中超一,下超二等。 〔上方法,长自乘而一折,中廉法,但有长,故降一等;下隅法,无面长,故又降一等也。〕 复置议,以一乘中, 〔为三廉备幂也。〕 再乘下, 〔令隅自乘,为方幂也。〕 皆副以加定法。以定法除。 〔三面、三廉、一隅皆已有幂,以上议命之而除,去三幂之厚也。〕 除已,倍下,并中,从定法。 〔凡再以中、三以下,加定法者,三廉各当以两面之幂连于两方之面,一隅连于三廉之端,以待复除也。言不尽意,解此要当以棋,乃得明耳。〕 复除,折下如前。开之不尽者,亦为不可开。 〔术亦有以定法命分者,不如故幂开方,以微数为分也。〕 若积有分者,通分内子为定实。定实乃开之。讫,开其母以报除。 〔淳风等按:分母可开者,并通之积先合三母。既开之后一母尚存,故开分母,求一母,为法,以报除也。〕 若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一。 〔淳风等按:分母不可开者,本一母也。又以母再乘之,令合三母。既开之后,一母犹存,故令一母而一,得全面也。 按:“开立方”知,立方适等,求其一面之数。“借一算,步之,超二等”者,但立方求积,方再自乘,就积开之,故超二等,言千之面十,言百万之面百。“议所得,以再乘所借算为法,而以除”知,求为方幂,以议命之而除,则立方等也。“除已,三之为定法”,为积未尽,当复更除,故豫张三面已定方幂为定法。“复除,折而下”知,三面方幂皆已有自乘之数,须得折、议定其厚薄。据开平方,百之面十,其开立方,即千之面十。而定法已有成方之幂,故复除之者,当以千为百,折下一等。“以三乘所得数,置中行”者,设三廉之定长。“复借一算,置下行”者,欲以为隅方,立方等未有数,且置一算定其位也。“步之,中超一,下超二”者,上方法长自乘而一折,中廉法但有长,故降一等,下隅法无面长,故又降一等。“复置议,以一乘中”者,为三廉备幂。“再乘下”,当令隅自乘为方幂。“皆副以加定法,以定法除者,三面、三廉、一隅皆已有幂,以上议命之而除,去三幂之厚。“除已,倍下、并中,从定法”者,三廉各当以两面之幂连于两方之面,一隅连于三廉之端,以待复除。其开之不尽者,折下如前,开方,即合所问。“有分者,通分内子开之。讫,开其母以报除”,“可开者,并通之积,先合三母;既开之后,一母尚存,故开分母”者,“求一母为法,以报除。”“若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一”,分母不可开者,本一母,又以母再乘,令合三母,既开之后,亦一母尚存。故令如母而一,得全面也。〕 今有积四千五百尺。 〔亦谓立方之尺也。〕 问为立圆径几何?答曰:二十尺。 〔依密率,立圆径二十尺,计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕 又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何?答曰:一万四千三百尺。 〔依密率,为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕 开立圆 术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得,开立方除之,即立圆径。 〔立圆,即丸也。为术者,盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三,圆囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二,为丸率九,丸居圆囷又四分之三也。置四分自乘得十六,三分自乘得九,故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积,九而一,得立方之积。丸径与立方等,故开立方而除,得径也。然此意非也。何以验之?取立方棋八枚,皆令立方一寸,积之为立方二寸。规之为圆囷,径二寸,高二寸。又复横因之,则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马,圆然也。按:合盖者,方率也,丸居其中,即圆率也。推此言之,谓夫圆囷为方率,岂不阙哉?以周三径一为圆率,则圆幂伤少;令圆囷为方率,则丸积伤多,互相通补,是以九与十六之率偶与实相近,而丸犹伤多耳。观立方之内,合盖之外,虽衰杀有渐,而多少不掩。判合总结,方圆相缠,浓纤诡互,不可等正。欲陋形措意,惧失正理。敢不阙疑,以俟能言者。 黄金方寸,重十六两;金丸径寸,重九两,率生于此,未曾验也。《周官·考工记》:“朅氏为量,改煎金锡则不耗,不耗然后权之,权之然后准之,准之然后量之。”言炼金使极精,而后分之则可以为率也。令丸径自乘,三而一,开方除之,即丸中之立方也。假令丸中立方五尺,五尺为句,句自乘幂二十五尺。倍之得五十尺,以为弦幂,谓平面方五尺之弦也。以此弦为股,亦以五尺为句,并句股幂得七十五尺,是为大弦幂。开方除之,则大弦可知也。大弦则中立方之长邪,邪即丸径。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂,三分之一也。今大弦还乘其幂,即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽,令其幂七十五再自乘之,为面,命得外立方积,四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘,又以方乘之,得积一百二十五尺,一百二十五尺自乘,为面,命得积,一万五千六百二十五尺之面。皆以六百二十五约之,外立方积,六百七十五尺之面,中立方积,二十五尺之面也。 张衡算又谓立方为质,立圆为浑。衡言质之与中外之浑:六百七十五尺之面,开方除之,不足一,谓外浑积二十六也;内浑,二十五之面,谓积五尺也。今徽令质言中浑,浑又言质,则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之率推以言浑之率也。衡又言:“质,六十四之面;浑,二十五之面。”质复言浑,谓居质八分之五也。又云:方,八之面;圆,五之面。”圆浑相推,知其复以圆囷为方率,浑为圆率也,失之远矣。衡说之自然欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密矣。虽有文辞,斯乱道破义,病也。置外质积二十六,以九乘之,十六而一,得积十四尺八分尺之五,即质中之浑也。以分母乘全内子,得一百一十七。又置内质积五,以分母乘之,得四十,是谓质居浑一百一十七分之四十,而浑率犹为伤多也。假令方二尺,方四面,并得八尺也,谓之方周。其中令圆径与方等,亦二尺也。圆半径以乘圆周之半,即圆幂也。半方以乘方周之半,即方幂也。然则方周知,方幂之率也;圆周知,圆幂之率也。按:如衡术,方周率八之面,圆周率五之面也。令方周六十四尺之面,圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘,得径四尺之面,是为圆周率十之面,而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非,是故更着此法,然增周太多,过其实矣。 淳风等按:祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率,丸为圆率,乃设新法。祖暅之开立圆术曰:“以二乘积,开立方除之,即立圆径。其意何也?取立方棋一枚,令立枢于左后之下隅,从规去其右上之廉;又合而衡规之,去其前上之廉。于是立方之棋分而为四,规内棋一,谓之内棋;规外棋三,谓之外棋。规更合四棋,复横断之。以句股言之,令余高为句,内棋断上方为股,本方之数,其弦也。句股之法:以句幂减弦幂,则余为股幂。若令余高自乘,减本方之幂,余即内棋断上方之幂也。本方之幂即此四棋之断上幂。然则余高自乘,即外三棋之断上幂矣。不问高卑,势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类,借况以析微。按:阳马方高数参等者,倒而立之,横截去上,则高自乘与断上幂数亦等焉。夫叠棋成立积,缘幂势既同,则积不容异。由此观之,规之外三棋旁蹙为一,即一阳马也。三分立方,则阳马居一,内棋居二可知矣。合八小方成一大方,合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二,则合盖居立方亦三分之二,较然验矣。置三分之二,以圆幂率三乘之,如方幂率四而一,约而定之,以为丸率。故曰丸居立方二分之一也。”等数既密,心亦昭晢。张衡放旧,贻哂于后,刘徽循故,未暇校新。夫岂难哉,抑未之思也。依密率,此立圆积,本以圆径再自乘,十一乘之,二十一而一,得此积。今欲求其本积,故以二十一乘之,十一而一。凡物再自乘,开立方除之,复其本数。故立方除之,即丸径也。〕
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